数列Bの数列の和でシグマを使わずに超早く計算できる方法
821 回閲覧されました
みなさんこんにちは、jonioです。
「\(Σk(k+1)(k+2)\)だけど展開して計算をすると時間がかかるけど早くやる方法ってないかな？」と思った事はありませんか？
積になった時に展開して\(Σ\)計算をすると計算できるけど時間がかかりますよね。
連続整数の積の和の時のみ早く計算する方法がありますが知っている先生と知らない先生がいます。
私は受験生の時の時にたまたま授業で習って知っていますので説明します。
説明をただ見るだけだと何をしているか途中から分からなくなるので紙に式変形を書きながら説明を読んでほしいです。
それではやり方を説明します。
難しいので理解して何度も書いてやり方を覚えましょう。
今回説明するのは数列の和ですがこれだけ変則で「連続整数の積の時の\(Σ\)計算は差の形を作ることができる」と覚えましょう。
差の形は(前の項)-(次の項)(または(次の項)-(前の項))にする事です。
(前の項)–(次の項)を\(a_k\)–\(a_{k+1}\)として\(a_k\)を\(k(k+1)(k+2)\)とします。
そうすると\(a_{k+1}\)は\(a_k\)に対して番号を1つ上げるので式は\((k+1)(k+2)(k+3)\)となります。
だから
\(k(k+1)(k+2)\)
=(前の項)–(次の項)
=\(a_k\)–\(a_{k+1}\)
=\(k(k+1)(k+2)\)–\((k+1)(k+2)(k+3)\)・・・①となりますが
①の左辺(\(k(k+1)(k+2)\)のこと)を式変形して右辺にするので①の右辺は左辺と同じにならないといけないです。
だから①の右辺を式変形して左辺になるかのチェックをします。
\(k(k+1)(k+2)-(k+1)(k+2)(k+3)\)
\(=(k+1)(k+2){k-(k+3)}\)
\(=-3(k+1)(k+2)\)
となり①の左辺と同じにはならないので原因を考えます。
\(-3(k+1)(k+2)\)は①の左辺
\(k\)\((k+1)(k+2)\)と比べると\(k\)がないですよね。
\(a_k-a_{k+1}\)を式変形して
\(k(k+1)(k+2)\)-\((k+1)(k+2)(k+3)\)にしましたが\((k+1)(k+2)(k+3)\)に\(k\)があればくくる式に\(k\)も含まれます。
だから\((k+1)(k+2)(k+3)\)に\(k\)をつけて
\(k\)\((k+1)(k+2)(k+3)\)(これが\(a_{k+1}\))とすると\(a_{k+1}\)に対して\(a_k\)は\(k\)の番号が1つ下がるので
\((k-1)\)\(k(k+1)(k+2)\)になります。
よって①は
\((k-1)k(k+1)(k+2)\)
\(-k(k+1)(k+2)(k+3)\)
\(=k(k+1)(k+2){(k-1)-(k+3)}\)
\(=-4k(k+1)(k+2)\)
となります。
よって\((k-1)k(k+1)(k+2)\)
\(-k(k+1)(k+2)(k+3)\)
\(=-4k(k+1)(k+2)\)から
\(k(k+1)(k+2)\)
\(=-\frac{1}{4}((k-1)k(k+1)(k+2)\)
\(-k(k+1)(k+2)(k+3))\)
となり番号が1つづれた左の形が作れました。
あとはいつも通り\(k\)に\(1,2,3,・・・\)と代入していけばいいです。
ちなみに解答を書くときはいきなり
\(k(k+1)(k+2)\)
\(=-\frac{1}{4}((k-1)k(k+1)(k+2)\)
\(-k(k+1)(k+2)(k+3))\)
を書いていいです、採点者は因数分解をして元に戻ることを確かめます。
それでは解答です。
[box04 title=”解答”]
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)\)
=\(\displaystyle \sum_{k=1}^n -\frac{1}{4}((k-1)k(k+1)(k+2)\)
\(-k(k+1)(k+2)(k+3))\)
\(=-\frac{1}{4}((0・1・2・３-1・2・3・4)\)
\(+(1・2・3・4-2・3・4・5)\)
\(+・・・+((n-1)n(n+1)(n+2)\)
\(-n(n+1)(n+2)(n+3)\)
=\(-\frac{1}{4}(1・2・3・4\)
\(-n(n+1)(n+2)(n+3))\)
[/box04]
となります。
このやり方は\(( )\)を展開して\(Σ\)計算するよりも断然早く解けますのでやり方に慣れるのに時間がかかりますがぜひ物にしてください。
今回は\(k(k+1)(k+2)\)を式変形しましたが\(k(k+1)\)でもできます。
連続整数の積になっていたら何次式でもできますが4次以上は\(Σ\)の公式がないので出題されません。