大学受験や高校数学の参考書に載ってない等式の条件式の使い方
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みなさんこんにちは、jonioです。
\(a+b+c=1\)みたいな等式の条件式だけどうまく使いこなせないな〜問題が解けたり解けなかったり。こうすれば上手くいくみたいなやり方がないかな？」と思った事はありませんか？
私が高校生の時はa+b+c=1みたいな等式の条件式の使い方は学校や塾で教えてくれなかったので知りませんでした。
学校や塾はとりあえず答えだけ出すみたいな授業ばかりでした。
フランチャイズの個別授業だと大学生が授業するので使い方みたいなのを言える人はほとんどいません。
等式の条件式は使い方を知らないと問題が解けたり解けなかったりと不安定になるので使い方を知ってないといけないです。
現在の私は授業する側なので授業で説明している内容をこの記事でも説明します。
やることは難しくないので誰でも理解できます。
細かく見るとやり方が色々あるのですがまずほとんどの問題が解けるやり方を知った方がいいのでそれについて説明します。
それでは説明します。
等式の条件式は1文字消去で「ほぼ」解ける
↓の問題で説明します。
「\(abc=1\)のとき
\(\displaystyle \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=1\)であることを示せ。」
1文字消去とはこういうこと
等式の条件式\(abc=1\)が出てきましたが等式の条件式の使い方は1文字消去と覚えましょう、これでほとんどの問題が解けます。
全ての問題ではないですよ、以前授業で「ほとんどの問題」と言ったのに「問題が解けない」と言って文句を言う生徒がいました。
1文字消去とは\(\displaystyle a=\frac{1}{bc}\)みたいに「1文字=」にすることです。
消す文字を選ぶ時の基準
どの文字を消すかですが文字の次数が全て同じならどの文字を消しても上手くいくと思います。
\(a^2+b+c=1\)の時みたいに次数が違う文字があったら「最大次数=」にしましょう。
\(a^2=1-b-c\)にするということです。
理由ですが↓を見てください。
「\(a^{100}\)と\(a^3\)ですが好きな方に\(\displaystyle a=\frac{3}{11}\)を代入してください」と言われたらどちらに代入する気になりますか？
普通は\(a^3\)ですよね、このように数学はどの分野でも次数を下げると考えると問題を解きやすくなります。
話を戻して\(abc=1\)より\(\displaystyle a=\frac{1}{bc}\)にします。
等式の証明なのですが(左辺)→(右辺)にした方が証明が楽なのでそうします。
等式の証明のやり方については詳しく説明した記事を書いていますのでやり方がよく分からない人は読んでください。
[blogcard url=”https://bakkagisaji.com/equation-easy/”]
\(\displaystyle a=\frac{1}{bc}\)を\(\displaystyle \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)に代入して
\(\displaystyle \frac{\frac{1}{bc}}{\frac{1}{bc}b+\frac{1}{bc}+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{c\frac{1}{bc}+c+1}\)
式変形をする時はがむしゃらにやらない
この式を式変形して1にするのですががむしゃらに式変形をしない方がいいです。
分数の中に分数が入っていると見にくいのでこれをなくします。
\(\displaystyle \frac{\frac{1}{bc}}{\frac{1}{bc}b+\frac{1}{bc}+1}\)の分母と分子に\(bc\)をかけて\(\displaystyle \frac{1}{b+1+bc}\)
\(\displaystyle \frac{c}{c\frac{1}{bc}+c+1}\)の分母と分子に\(b\)をかけて
\(\displaystyle \frac{1}{1+bc+b}\)
よって
\(\displaystyle \frac{\frac{1}{bc}}{\frac{1}{bc}b+\frac{1}{bc}+1}\)+
\(\displaystyle\frac{b}{bc+b+1}\)+\(\displaystyle\frac{c}{c\frac{1}{bc}+c+1}\)
=\(\displaystyle \frac{1}{b+1+bc}\)+\(\displaystyle \frac{b}{bc+b+1}\)+
\(\displaystyle \frac{1}{1+bc+b}\)
=\(\displaystyle \frac{1+b+bc}{1+b+bc}\)
=1となり証明完了です。
生徒に解かせると何となく問題を解いている人はこの問題ですっごく時間をかけて解けないです。
だから等式の条件式は1文字消去と覚えましょう、やることは単純なのですぐ覚えると思います。